Soal matematika

1. Diketahui premis‑premis berikut !
a. Jika sebuah segitiga siku‑siku maka salah satu sudutnya 90 0
b. Jika salah satu sudutnya 90 0 maka berlaku teorema Phytagoras
Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis‑premis di atas adalah …
Jawaban :
Kesimpulan yang sah adalah “Jika sebuah segitiga siku‑siku maka maka
berlaku teorema Phytagoras ”, sedangkan ingkarannya adalah “ sebuah
segitiga siku‑siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras”
2. Nilai x yang memenuhi 3 log 9 x 3
= 3 adalah …
Jawaban :
log 9 log ( 3 ) 3 log ( 3 )4 12 4 12 ( 3 log ( 3 )) 3
4 x 3
3 x 3
3 ÷ = = - =
ø
ç ö
è
= æ - x x
Jadi 4x‑12 = 3 atau x = 3,75

3. Fungsi kuadrat f(x) = px 2 – x + 1 menyinggung garis 3x ‑ y = ‑ 2. Nilai p yang
memenhi adalah …
Jawaban :
Fungsi kuadrat f(x) = y = px 2 – x + 1 menyinggung y = 3x + 2
px 2 – x + 1 = 3x + 2Û px 2 – 4x – 1 = 0
Agar bersinggungan maka diskriminannya harus bernilai 0
D = 16 + 4p = 0. Jadi p = ‑ 4.

4. Akar‑akar persamaan kuadrat 2x 2 + mx + 16 = 0 adalah a dan b. Jika a = 2b dan
a, b positif maka nilai = = …
Jawaban :
Diketahui akar‑akar 2x 2 + mx + 16 = 0 adalah a dan b, a = 2b, dan keduanya
positif. Ingat kembali bahwa a.b = 16/2 = 8.
a.b = (2b) . b = 2b 2 = 8 atau b = 2 dan a = 4.
a + b = ‑m/2 atau m = ‑2(a+b) = ‑2(6) = ‑ 12

5. Akar‑akar persamaan 2x 2 ‑ 4x + 3 = 0 adalah p dan q. persamaan kuadrat baru
yang akar‑akarnya
p dan adalah …
Jawaban :
dan 1
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah 3x 2 ‑ 2x + 3 = 0.

6. Luas segiempat pada gambar adalah …
Jawaban :
Segiempat tersebut terdiri dari 2 buah segitiga.
Luas D pertama = 10 4 sin 30 10
2
1 x x x 0 = satuan luas
Luas D siku‑siku = 6 8 24
2
1
x x = satuan luas
Jadi luas daerah segiempat tersebut adalah 34 satuan luas.
wayan.aryana@gmail.com 2
7. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AC = BC = 6 cm; CF = 8 cm
dan sudut antara AF dan BF adalah 60 0 . Volume prisma tersebut adalah
Jawaban :
Berdasarkan keterangan pada soal maka dengan Teorema Phytagoras
diperoleh panjang AF = BF = 10 cm. Karena sudut ABF = 60 0 maka segitiga ABF
samasisi ( AB = 10 cm). Perhatikan segitiga ABC, dengan Teorema Phytagoras
diperoleh tingginya adalah 11 cm. Luas segitiga ABC = 5 11 cm sehingga
volume limas adalah 40 11 cm
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P pada perpanjangan
DH, sehingga DP = 3/2 DH. Jarak P ke ACGE adalah …
Jawaban :
Dari informasi pada soal dapat diketahui panjang PH = 3 cm dan HX = 3 2 cm
( X adalah titik tengah EG ). Jarak P ke bidang ACGE samadengan jarak PH ke
bidang ACGE yaitu HX. Jadi jarak P ke bidang ACGE adalah 3 2
9. Pada balok ABCD.EFGH berturut‑turut panjang rusuk AB = 12 3 cm, BC =
16 cm dan AE = 10 cm. P terletak pada EH dengan EP : PH = 1 : 1 dan Q terletak
pada HG dengan HQ : QG = 2 : 1. Besar sudut antara garis yang melalui PQ
dengan bidang BCGF adalah …
Jawaban :
Perhatikan soal baik‑baik sehingga dapat kita peroleh EP = PH = 8 cm dan HQ
= 8 3 cm. Selanjutnya buat garis melalui Q sejajar FG. Besar sudut antara garis
yang melalui PQ dengan BCGF sama dengan besar ÐHPQ pada segitiga sikusiku
HPQ. Tangen ÐHPQ = 3
8
8 3
= . Jadi ÐHPQ = 60 0
10. Himpunan penyelesaian persamaan 2 cos 2 2x 0 – 1 = 2 sin 2 2x 0 , 0 £ x £ 270
adalah …
Jawaban :
Ingat kembali identitas‑ identitas trigonometri. 2 cos 2 2x 0 – 1 = 2 sin 2 2x 0 Û 2
(cos 2 2x 0 ‑ sin 2 2x 0 ) = 1 atau cos 4x =
2
1 . Untuk 0 £ x £ 270 maka nilai yang
memenuhi adalah {15, 75, 105, 165, 195, 255 }
11. Diketahui lingkaran L º (x‑3) 2 + (y‑2) 2 = 4. Persamaan garis singgung lingkaran
di titik potong garis y = 2 dengan lingkaran adalah …
Jawaban :
Persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat diperoleh dengan
mensubstitusikan y = 2 ke persamaan lingkaran sehingga akan didapat x = 1
dan x = 5.
12. Diketahui sin A =
13
12 dan cos B =
5
3 , ÐA dan ÐB lancip. Nilai tan (A‑B) = …
Jawaban : Tan (A ‑ B ) =
A B A B
A B A B
A B
A B
cos cos sin sin
sin cos cos sin
cos( )
sin( )
+
-
=
-
- …………(*)
Jika A lancip dan B lancip maka cos A =
13
5 dan sin B =
5
4 .
Substitusikan nilai‑nilai tersebut ke (*) sehingga diperoleh tan (A‑B) =
63
16
wayan.aryana@gmail.com 3
13. Dalam sebuah segitiga lansip ABC, diketahui sin A =
2
1 dan cos B =
5
3 , nilai
dari tan C adalah …
Jawaban :
Jika segitiga ABC lancip maka cos A =
2
3 dan sin B =
5
4 .
Ingat kembali bahwa tan C = tan (180 – (A+B)) = ‑ tan (A+B)
Tan (A+B) = ( 25 3 48)
11
1
cos cos sin sin
sin cos cos sin
cos( )
sin( )
= - +
-
+
=
+
+
A B A B
A B A B
A B
A B
14. Modus dari data pada tabel adalah …
Jawaban :
Modus terdapat pada interval ketiga (160 – 164) karena frekuensinya tertinggi.
Selisih frekuensi kelas Modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (d1) adalah 5,
selisih frekuensi kelas Modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (d2) adalah 3,
tepi bawah (L) kelas Modus adalah 160 – 0,5 = 159,5, dan panjang interval
adalah 5.
. 5 162, 6 25
5 3
. 159, 5 5
1 2
1 =
+
= +
+
= + p
d d
Mo L d
15. Dari 15 bibit mangga diberi nomor 1 sampai 15. Diambil 8 jenis bibit untuk
ditanam di kebun percontohan. Jenis nomor 1 dan nomor 2 pasti terambil.
Banyaknya cara pemilihan jenis bibit mangga tersebut adalah …
Jawaban :
Dari 13 jenis bibit mangga yang tersisa akan dipilih 6 jenis bibit mangga lagi
Banyak cara pemilihan adalah kombinasi 6 unsur dari 13 unsur yang tersedia
yakni 1716 cara.
16. Dalam sebuah keranjang terdapat 18 mangga, 15 manggis, dan 27 apel.
Peluang mendapatkan buah manggis pada pengambilan satu buah pertama
kali adalah …
Jawaban :
Banyak seluruh buah adalah 60, sedangkan banyak manggis adalah 15
sehingga peluang terambilnya manggis pada pengambilan pertama adalah
4
1
60
15
60 1
15 1 = =
C
C
17. Diketahui f : R à R dan g : R à R dengan f(x) = 2x 2 – 3 dan g(x) = 3 - 2 x
Fungsi komposisi (fog)(x) adalah …
Jawaban :
Perhatikan kedua fungsi tersebut. ( f o g )( x ) = 2 ( 3 - 2 x ) 2 - 3 = 3 - 4 x
Tinggi(cm) Frekuensi
150 ‑ 154 5
155 ‑ 159 8
160 ‑ 164 13
165 ‑ 169 10
170 ‑ 174 4
wayan.aryana@gmail.com 4
18. Suku banyak f(x) dibagi oleh 2x – 4 memberi sisa 6, dibagi oleh x + 4 memberi
sisa 24. Suku banyak g(x) dibagi oleh 2x – 4 memberi sisa 5 dan dibagi x + 4
sisanya 2. Jika h(x) = f(x). g(x) maka h(x) dibagi 2x 2 + 4x – 16 memberi sisa …
Jawaban :
Perhatikan bahwa 2x 2 + 4x – 16 = (2x ‑ 4)(x + 4)
Jika h(x) = f(x). g(x) maka :
h(2) = f(2).g(2) = 6.5 = 30 dan h(‑4) = f(‑4).g(‑4) = 24. 2 = 48
Misalkan sisa pembagian h(x) oleh 2x 2 + 4x – 16 adalah px + q sehingga
2p + q = 30 dan ‑4p + q = 48. Jika sistem persamaan linier tersebut diselesaikan
diperoleh p = ‑3 dan q = 36. Jadi sisa pembagian h(x) oleh 2x 2 + 4x – 16 adalah ‑
3x + 36.
19. Nilai =
® 4
lim 2 8
2
4 x
x x
x
…
Jawaban : lim ( 2) 6
4
lim ( 2 )( 4 )
4
lim 2 8
4 4
x x x
20. Nilai lim ( 2 + 2 - 2 + ) = ...
® ¥
x x x x
x
Jawaban :
Perhatikan a p
a
ax bx c px qx r b q
x
x x x
22. Garis l menyinggung kurva y = 3 x di titik yang berabsis 1. Titik potong garis l
dengan sumbu x adalah …
Jawaban :
Gradien garis l adalah m = y’ = 2
1
2
3 - x . Di titik berabsis 1, nilai m =
2
3 , jika x = 1
disubstitusikan ke persamaan kurva diperoleh y = 3, jadi titik singgungnya
(1,3). Persamaan garis bergradien
2
3 dan melalui (1,3) adalah
y – 3 =
2
3 (x ‑ 1) Û 2y ‑ 3x = 3 . Titik potong terhadap sumbu x adalah (‑1,0)
wayan.aryana@gmail.com 5
23. Dari sebuah karton yang berbentuk persegi dengan panjang sisi 16 cm akan
dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya
dengan ukuran yang sama (x cm). untuk mendapatkan volume kotak
maksimum, maka tinggi kotak adalah …
Jawaban :
Volume kotak = panjang x lebar x tinggi = (16‑2x)(16‑2x)x = 4x 3 – 64x 2 + 256
Volume kotak maksimum jika turunan pertama 4x 3 – 64x 2 + 256 bernilai 0.
Pembuat nol 12x 2 – 128x + 256 adalah 8 dan 8/3. Nilai yang memenuhi adalah x
= 8/3.
24. Aris, Burhan , dan Mutia berbelanja di toko, Aris membayar Rp 85.000,00
untuk 4 unit barang I dan 3 unit barang II. Burhan harus membayar Rp
100.000,00 untuk 2 unit barang I dan 4 unit barang II. Yang harus dibayar
Mutia bila ia membeli 5 unit barang I dan 4 unit barang II adalah …
Jawaban :
Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh sistem persamaan linier :
4x + 3y = 85.000 ; 2x + 4y = 100.000 . Jika sistem persamaan linier tersebut
diselesaikan akan diperoleh harga 1 unit barang I adalah 4.000 dan harga 1 unit
barang II adalah 23.000 sehingga Mutia harus membayar Rp 112.000
25. Sebuah kantin sekolah menyediakan soto ayam dan soto daging tidak lebih
dari 80 porsi per hari. Banyak porsi soto ayam sedikitnya 20 porsi dan soto
daging paling banyak 60 porsi. Harga soto ayam Rp 5.000,00 per porsi dan soto
daging Rp 6.000,00 per porsi. Banyaknya masing‑masing jenis menu yang
harus disediakan agar mendapatkan hasil penjualan maksimum adalah …
Jawaban :
Fungsi tujuan program linier pada soal adalah 5000x + 6000y (x dan y berturutturut
menyatakan banyaknya porsi soto ayam dan soto daging yang terjual),
sedangkan fungsi kendalanya adalah x + y £ 80 ; y £ 60 ; x ³ 20
Jika diselesaikan maka akan diperoleh soto ayam yang harus dijual 20 porsi
sedangkan soto daging sebanyak 60 porsi.
26. Diketahui matriks‑matriks
ú
dan D
4 5
1
2
1
,
1 3
1 0
2 2
,
0 1 1
1 3 0 x A B C
Jika C t adalah transpos matriks C, nilai x yang memenuhi AB + C t = D adalah
…
Jawaban : Perhatikan : AB + C t = D Û ú
atau x = 4
27. Diketahui sebuah balok pada ruang dimensi tiga dengan titik A(0,0,0),
B(24,0,0), D(0,7,0) dan E(0,0,25), jika α adalah sudut antara vektor CA dan CE,
maka besar sudut α adalah …
Jawaban : Dari soal dapat diketahui AE = 25, AB = 24, dan AD = 7. Pergunakan
teorema Phytagoras pada segitiga ABC yang siku‑siku di B, panjang AC
diperoleh 25. Terlihat bahwa tan α = 1. Jadi α = 45 0
wayan.aryana@gmail.com 6
28. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2,‑1,‑1), B(‑1,4,‑2), dan C(5,0,‑3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
Jawaban :
AB = - 3i + 5i - k ; AC = 3i + j - 2 k
Jika panjang proyeksi vektor AB pada vektor AC kita misalkan vektor s maka
(3 2 )
7
. . 1
2 AC i j k
AC
s = AB AC = - + -
29. Garis g º 2x + y = 3 ditranslasikan oleh T = ú
û
ù
ê
ë
é
1
2
kemudian dirotasikan R(0, 90 0 ).
Persamaan bayangan g adalah …
Jawaban : Perhatikan : ú
Kita dapat x’ = ‑ y – 1 (atau y = ‑x ‑ 1) dan y’ = x + 2 (atau x = y ‑ 2).
Substitusikan nilai nilai tersebut ke persamaan garis g sehingga akhirnya
diperoleh bayangan garis g adalah 2y – x – 8 =0
30. Diketahui bayangan titik A(3,5) dan B(x,y) karena dilatasi [0,k] dilanjutkan
dengan translasi T = ú
û
ù
ê
ë
é -
4
1 2 k
adalah A’(‑1,‑6) dan B’(‑3,18). Koordinat titik B
adalah …
Jawaban : Perhatikan titik A(3,5). Pertama titik tersebut mengalami dilatasi
[0,k] sehingga menjadi (3k, 5k), dilanjutkan translasi T. Setelah mengalami
translasi koordinat A’ adalah (k + 1, 5k + 4) sehingga k + 1 = ‑1 atau k = ‑2.
Titik B(x, y) juga mengalami dilatasi [0, ‑2] dilanjutkan translasi T= ú
û
ù
ê
ë
é
4
5
sehingga bayangannya B’(‑3, ‑18). Dari informasi tersebut kita dapatkan
hubungan ‑2x + 5 = ‑3 dan ‑2y + 4 = ‑18. Jadi koordinat B adalah (4, ‑7)
31. Hasil dari ( x )( x x ) dx ò + 3 2 + 6 - 5 5 adalah …
Jawaban :
ò ( x + )( x 2 + x - )5 dx = ò ( x 2 + x - )5 d ( x 2 + x - ) = ò u 5 du = u 6 + C
12
1
2
6 5 1
2
3 6 5 6 5 . 1
Jadi ò ( x + )( x + x - ) dx = ( x + x - ) + C 2 5 2 6 5 6
12
3 6 5 1
32. Hasil dari ò 1 - cos 2 x dx = ...
Jawaban :
ò 1 - cos 2 x dx = ò 2 sin 2 x dx = 2 ò sin x dx = - 2 cos x + C
33. Jika ( 1) 14
1
0
2 2 ò ax x + dx = maka a = …
( ) ( ) ( ) ( ) 14 12
ò 2 + 2 = ò 2 + 2 2 + = + = a - a = a = Û a =
ax x dx a x d x
wayan.aryana@gmail.com 7
34. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dalam bentuk …
Jawaban : Inilah soal tergampang. Andaikan garis y = 1 adalah sumbu x maka
persamaan garis yang miring tersebut adalah y = x sehingga luas daerah yang
diarsir dapat dinyatakan dengan ò
4
0
xdx
35. Daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 0 .
Volume benda putar yang terjadi adalah …
Jawaban : Perhatikan bahwa y = x 3 Û 2
3
x 2 = y dan y2 = xÛ x2 = y4
Volume benda putar yang terjadi adalah :
V = p p p p p
5
2
5
1
5
1 3
0
4
1
0
3
2
ò y dy - ò y dy = - = satuan volume
36. Perhatikan grafik fungsi eksponen pada gambar!
Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah y = …
Jawaban :
Jika kita perhatikan grafik pada soal maka kita peroleh a = 3.
Perhatikan : y a x a log y
log a
log y x.log a x log y = Û log y = log a x Û = Û = =
Jadi inversnya adalah y = 3 log x
1
1
0 x
x=4
y
y = x 3
y 2 = x
3
9
wayan.aryana@gmail.com 8
37. Akar‑akar persamaan 3x +1 + 32 - x = 28 adalah α dan β, jika α < β, nilai α ‑ β = …
Jawaban : 28 3. ( 3 ) 9 28 ( 3 )
3
9
3 3 3. 3 1 2 x 2 x
x
x + + - x = x + = Û + =
Persamaan terakhir adalah persamaan kuadrat.
3. ( 3 x ) 2 - 28 ( 3 x ) + 9 = (3 ( 3 x ) - 1) (( 3 x ) - 9 ) = 0 sehingga α = 1
dan β = 2.
Jadi α – β = 1
– 2 = 3.
38. Pada barisan aritmetika yang mempunyai 9 suku diketahui jumlah suku ke‑2
dan suku ke‑8 adalah 26. Suku tengah dari barisan tersebut adalah …
Jawaban : Suku tengah dari barisan aritmetika dengan 9 suku adalah suku ke 5
(ingat U5 = a + 4b). Diketahui pula bahwa U2 + U8 = 26
U2 + U8 = (a + b) + (a + 7b) = 2a + 8b = 2(a + 4b) = 2 (U5) = 26. Jadi U5 = 13.
39. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan jumlah 15, jika suku
kedua dikurangi 1, maka diperoleh barisan geometri . Jumlah delapan suku
pertama barisan geometri naik yang terjadi adalah …
Jawaban :
Diketahui : a + (a+b) + (a + 2b) = 3a + 3b = 15 atau a + b = 5 (U2 = 5). Barisan
aritmetika yang dimaksudkan adalah 2, 5, 8 sehingga barisan geometri yang
diperoleh adalah 2, 4, 8. Barisan geometri tersebut memiliki suku awal 2 dan
rasio 2. S8 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510
40. Seekor semut pada hari pertama berjalan sejauh 1,5 meter, pada hari kedua
berjalan sejauh separuh dari perjalanan pertama, pada hari ketiga berjalan
separuh dari perjalanan kedua dan seterusnya sampai berhenti. Panjang
lintasan semut sampai berhenti adalah …
Jawaban : Persoalan ini menyangkut deret geometri takhingga dengan suku
awal 1,5 m dan rasio




wayan.aryana@gmail.com 1